Kvadratická rovnice je matematická rovnice, ve které je nejvyšší stupeň (mocnina) neznámé roven dvěma. Tento typ rovnice má nejvýše dvě řešení.
Každou kvadratickou rovnici lze upravit do následujícího tvaru:
€€ \begin{align*} ax^2 + by + c &= 0 \\ a,b,c &\in C \\ a \neq 0 \end{align*} €€Prvním krokem k řešení je výpočet tzv. diskriminantu, který se označuje písmenem D. Ten se vypočte dosazením do následujícího vzorce:
€€ D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c €€Další postup závisí na jeho hodnotě.
Je-li diskriminant větší než nula, bude mít rovnice dvě řešení, která se z koeficientů a diskriminantu vypočítají takto:
€€ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} €€Je-li diskriminant komplexní, lze pro jeho odmocnění použít Moivrovu větu.
€€ \begin{align*} D &= \left| D \right| (\cos{x} + i \sin{x}) \\ \sqrt{D} &= (\left| D \right| (\cos{x} + i \sin{x}))^{\frac{1}{2}} \\ \sqrt{D} &= \left\{ \left| D \right|^{\frac{1}{2}} (\cos{\frac{x+2k\pi}{2}} + i \sin{\frac{x+2k\pi}{2}}) \right\} \\ 0 \leq &k \leq 1; k \in N \end{align*} €€Je-li diskriminant nulový, bude mít rovnice jedno řešení. Vzorec pro výpočet tohoto řešení vychází ze vzorce pro D>0, ale díky nulovému diskriminantu jej lze zjednodušit.
€€ \begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} \\ x &= \frac{-b}{2a} \end{align*} €€A konečně, je-li diskriminant menší než nula, rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel.
V oboru komplexních čísel má však rovnice pro diskriminant menší než nula dvě komplexně sdružená řešení, která lze vypočítat takto:
€€ \begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{(i^2)(-D)}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{i^2}\sqrt{-D}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm i \sqrt{-D}}{2a} \end{align*} €€