Domů » Matematika » Integrál

Integrál

Primitivní funkce

Primitivní funkce k funkci f(x) v intervalu I je taková funkce F(x), jejíž derivace je v daném intervalu rovna f(x). Platí tedy, že € \forall x \in (a,b) :\; F'(x) = f(x) €.

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál funkce f(x) je množina všech primitivních funkcí k funkci f(x). Postup hledání těchto funkcí se nazývá integrování a je to opačný proces k derivování.

Tabulkové integrály

Polynomy
€€ \begin{align*} \int x^c \; \mathrm{d}x &= \frac{x^{c+1}}{c+1} + C, c \neq -1, x > 0 \\ \int \frac{1}{x} \; \mathrm{d}x &= \ln |x| + C, x \neq 0 \\ \end{align*} €€
Exponenciály a logaritmy
€€ \begin{align*} \int e^x \; \mathrm{d}x &= e^x + C \\ \int c^x \; \mathrm{d}x &= \frac{c^x}{\ln c} + C, c > 0, c \neq 1 \\ \int \log_c x \; \mathrm{d}x &= x \cdot \log_c x - \frac{x}{\ln c} + C \\ \int \ln x \; \mathrm{d}x &= x \cdot \log_e x - \frac{x}{\ln e} = x \cdot \ln x - x + C \\ \end{align*} €€
Goniometrické funkce
€€ \begin{align*} \int \sin x \; \mathrm{d}x &= - \cos x + C \\ \int \cos x \; \mathrm{d}x &= \sin x + C \\ \int \sinh x \; \mathrm{d}x &= \cosh x + C \\ \int \cosh x \; \mathrm{d}x &= \sinh x + C \\ \end{align*} €€

Metody integrování

Substituce

Věta o přímé substituci: Nechť f(x) je funkce definovaná na intervalu I a má na něm primitivní funkci F(x). Nechť g(x) je funkce z intervalu J do intervalu I, která je diferencovatelná na J. Pak F(g) je primitivní funkce k f(g)g' na J:

€€ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \; \mathrm{d}x = (\int f(y) \; \mathrm{d}y) |_{y=g(x)} €€
Per partes

Věta o integraci per partes: Nechť f(x) a g(x) jsou funkce diferencovatelné na intervalu I. Pak f(x)g'(x) je integrovatelná na I právě tehdy, je-li f'g integrovatelná na I. Navíc platí, že jestliže je F primitivní funkce k f'g na I, pak je fg-F primitivní funkce k fg' na I.

€€ \int f(x) \cdot g'(x) \; \mathrm{d}x = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \; \mathrm{d}x €€

Reference