Prvek a z množiny A monoidu € (A, \circ) € s neutrálním prvkem e je invertibilní právě tehdy, když k němu v množině A existuje inverzní prvek z takový, že € a \circ z = e = z \circ a €. Tento prvek je určen jednoznačně.
Grupa je každý monoid, ve kterém jsou všechny prvky nosné množiny invertibilní. Platí tedy, že € \forall a \in A: \exists z \in A: a \circ z = e = z \circ a €.
Grupa je komutativní, právě když je operace o komutativní.
Grupou je například množina celých čísel spolu s operací sčítání a nulou jako neutrálním prvkem € (\mathbb{Z}, +, 0) €. Inverzním prvkem k číslu A je číslo -A.
Grupou je i množina reálných čísel spolu s operací násobení a číslem 1 jako neutrálním prvkem € (\mathbb{R}, *, 1) €. Inverzním prvkem k číslu A je číslo 1/A.
Nechť (A,o,e) je grupa. Trojice (B,*,g) je její podgrupa, právě když platí:
€€ B \subseteq A €€ €€ g = e €€ €€ \forall b \in B : b^{-1} \in B €€Nechť (A,o,e) je konečná grupa a (B,*,g) její podgrupa. Pak řád podgrupy (B,*,g) (počet prvků množiny B) dělí řád grupy (A,o,e) (počet prvků množiny A).
Nechť (A,o,e) je konečná grupa. Umocnění prvku a na celé číslo b je definováno jako b-násobné postupné použití operace o na prvek a:
€€ a \in A, n \in Z €€ €€ \begin{align} a^0 &= e \\ a^1 &= a \\ a^n &= a \circ a^{n-1} \\ a^{-n} &= {(a^{-1})}^n \end{align} €€Nechť (A,o,e) je konečná grupa. Její podgrupa (B,o,e) se nazývá podgrupa generovaná prvkem a, pokud platí, že:
€€ a \in A, B = \{ a, a^2, \ldots, a^{r(a)} = e \} €€V tom případě se prvek a nazývá generátor. Nejmenší možné kladné číslo r(a) se nazývá řád prvku a.
Podgrupa generovaná prvkem a se značí takto:
€€ B = \langle a \rangle €€Každá grupa, která má generátor, se nazývá cyklická grupa. Všechny podgrupy cyklické grupy jsou také cyklické.
Je-li řád prvku a roven r, pak platí tento vztah:
€€ r(a^k) = \frac{r(a)}{\mathrm{gcd}(r(a),k)} €€Nechť (A,o,e) a (B,*,g) jsou grupy. Zobrazení f je grupový homomorfizmus, právě když platí:
€€ f : A \to B €€ €€ \begin{align} \forall x,y &\in A: \\ f (x \circ y) &= f (x) * f (y) \\ f (e) &= g \\ f (x^{{-1}_A}) &= (f (x))^{{-1}_B} \end{align} €€Stručně řečeno, grupový homomorfizmus respektuje binární operaci, neutrály a inverzi.
Grupový izomorfizmus je grupový homomorfizmus, který je vzájemně jednoznačným zobrazením (bijekcí). Dvě grupy (A,o,e) a (B,*,g) jsou izomorfní, právě když existuje nějaký izomorfizmus f, pro který platí:
€€ f : A \to B €€Pokud toto platí, lze tuto vlastnost zapisovat jako:
€€ A \simeq B €€