Domů » Matematika » Eulerovo číslo

Eulerovo číslo

Eulerovo číslo (někdy také Napierova konstanta) je jedna z nejdůležitějších konstant v matematice. Jedna z definic říká, že je to jediné reálné číslo a takové, že funkce € a^x € má hodnotu směrnice tečny v bodě nula rovnu jedné. Jedná se o číslo transcendentní. Malým písmenem e se tato konstanta označuje od roku 1736 na počest významného švýcarského matematika Leonardha Eulera.

Eulerovo číslo je základ přirozeného logaritmu a objevuje se nejčastěji při výpočtech limit, derivací a integrálů.

Historie

První zmínka o této konstantě se objevují v pracech Johna Napiera v roce 1618. Výpočtem její hodnoty se zabýval už i Isaac Newton, který konstantu zapsal pomocí součtu nekonečné řady.

Matematik Rok Počet desetinných míst
L. Euler 1748 23
W. Shanks 1871 205
J. M. Boorman 1884 346
J. von Neumann 1949 2010
D. Shanks & J. W. Wrench 1961 100265
P. Demichel 1997 50000817
S. Wedeniwski 1999 869894101
X. Gourdon 1999 1250000000
X. Gourdon 2000 12884901000

Hodnota

2.71828182845­904523536028747135266249­775724709369995957496696­762772407663035354759457­138217852516642742746639­193200305992181741359662­904357290033429526059563­073813232862794349076323­382988075319525101901157­383418793070215408914993­488416750924476146066808­226480016847741185374234­544243710753907774499206­955170276183860626133138­458300075204493382656029­760673711320070932870912­744374704723069697720931­014169283681902551510865­746377211125238978442505­695369677078544996996794­686445490598793163688923­009879312773617821542499­922957635148220826989519­366803318252886939849646­510582093923982948879332­036250944311730123819706­841614039701983767932068­328237646480429531180232­878250981945581530175671­736133206981125099618188­159304169035159888851934­580727386673858942287922­849989208680582574927961­048419844436346324496848­756023362482704197862320­900216099023530436994184­914631409343173814364054­625315209618369088870701­676839642437814059271456­354906130310720851038375­051011574770417189861068­739696552126715468895703­5035

Výpočet

€€ e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} €€

Vztahy

Vztah s číslem pí udává vzorec € e^{i \cdot \pi} + 1 = 0 €, který byl kdysi zvolen za nejkrásnější matematický vztah. Tento vztah je konkrétním případem obecnější rovnice (tzv. Eulerovy rovnice) € e^{e \cdot \phi} = \cos \phi + i \cdot \sin \phi €.

Výše uvedený vztah je považován za krásný z několika hledisek: obsahuje pět důležitých konstant € (0,1,\pi,e,i) € a tři základní aritmetické operace (sčítání, násobení, umocnění). Benjamin Peirce k němu řekl svým studentům následující:

„Gentlemen, we have not the slightest idea what this equation means, but we may be sure that it means something very important.“ – Benjamin Peirce

Reference