Bc. Vojtěch Hordějčuk

„Píšu jak rozzuřený hokynář.” - J. Hurt

Domů » Wiki » Matematika » Kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice je matematická rovnice, ve které je nejvyšší stupeň (mocnina) neznámé roven dvěma. Tento typ rovnice má nejvýše dvě řešení.

Řešení

Každou kvadratickou rovnici lze upravit do následujícího tva­ru:

\begin{align*} ax^2 + by + c &= 0 \\ a,b,c &\in C \\ a \neq 0 \end{align*}
  • x = neznámá
  • a = kvadratický koeficient
  • b = lineární koeficient
  • c = absolutní člen

Výpočet diskriminantu

Prvním krokem k řešení je výpočet tzv. diskriminantu, který se označuje písmenem D. Ten se vypočte dosazením do následujícího vzorce:

D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c

Další postup závisí na jeho hodnotě.

Diskriminant > 0

Je-li diskriminant větší než nula, bude mít rovnice dvě řešení, která se z koeficientů a diskriminantu vypočítají takto:

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Je-li diskriminant komplexní, lze pro jeho odmocnění použít Moivrovu větu.

\begin{align*} D &= \left| D \right| (\cos{x} + i \sin{x}) \\ \sqrt{D} &= (\left| D \right| (\cos{x} + i \sin{x}))^{\frac{1}{2}} \\ \sqrt{D} &= \left\{ \left| D \right|^{\frac{1}{2}} (\cos{\frac{x+2k\pi}{2}} + i \sin{\frac{x+2k\pi}{2}}) \right\} \\ 0 \leq &k \leq 1; k \in N \end{align*}

Diskriminant = 0

Je-li diskriminant nulový, bude mít rovnice jedno řešení. Vzorec pro výpočet tohoto řešení vychází ze vzorce pro D>0, ale díky nulovému diskriminantu jej lze zjednodušit.

\begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} \\ x &= \frac{-b}{2a} \end{align*}

Diskriminant < 0

A konečně, je-li diskriminant menší než nula, rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel.

V oboru komplexních čísel má však rovnice pro diskriminant menší než nula dvě komplexně sdružená řešení, která lze vypočítat takto:

\begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{(i^2)(-D)}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{i^2}\sqrt{-D}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm i \sqrt{-D}}{2a} \end{align*}

Reference